Matematica: il calcolo Combinatorio
Spiegazione del calcolo combinatorio con esempi e calcolatori online.
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Il calcolo combinatorio serve a determinare il numero dei
modi mediante i quali possono essere associati, secondo prefissate regole,
gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi.
Spesso si ha la necessità di calcolare in quanti modi possibili
si può presentare un certo fenomeno.
Il problema è banale con i piccoli numeri,
ma quando questo numero è elevato si presentano delle difficoltà
nel formare tutti i raggruppamenti possibili e senza considerare
ripetizioni.
Il calcolo combinatorio è
indispensabile nel Calcolo delle Probabilità poiché consente di
determinare il numero di eventi possibili (ma anche quelli favorevoli e
contrari) che si possono verificare in una prova.
Il Calcolo combinatorio fornisce gli
strumenti di calcolo per determinare il numero di aggruppamenti che si
possono formare con un numero
k di oggetti presi da un insieme
contenente
n oggetti ( con
n >= k ), i tre tipi di calcoli possibili sono:
Esempi vari
Alcuni esempi vari di utilizzo del calcolo combinatorio.
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Un sacchetto contiene 50 palline, 20 bianche e 30 rosse ;
Calcolare la probabilita' che, estraendo contemporaneamente due palline, essa siano entrambe rosse
Siccome le palline vengono estratte contemporaneamente non conta l'ordine e quindi useremo le combinazioni
I casi possibili sono tutte le coppie che si possono formare con le 50 palline; C50,2
I casi favorevoli sono tutte le coppie non ordinate che posso formare con le palline rosse
P = C30,2 / C50,2 = 87 / 245 = = 0,3551020419 = ~35,51%
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DISPOSIZIONI
Le targhe automobilistiche sono costituite da 2 lettere, 3 cifre, 2 lettere.
Sapendo che le lettere possono venire scelte tra le 26 lettere dell'alfabeto anglosassone,
si calcoli quante targhe differenti possono essere ottenute e quindi quante automobili
possono essere immatricolate ?
Con due lettere scelte tra 26, con possibile ripetizione e tenendo conto dell'ordine, posso ottenere:
D'26,2 = 262 = ?676 disposizioni.
Con tre cifre posso ottenere:
D'10,3 = 103 = 1000 numeri (i numeri da 001 a 999 + 000).
Per cui il totale sarà 676 x 1000 x 676= 456.976.000
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PERMUTAZIONI (semplici e con ripetizione)
Una partita di calcio tra la squadra A e B è finita 4 a 3. In quanti modi diversi possono essersi succedute le reti?
P7(4,3) = 7! / 4!3! =
Infatti, indicando con a le reti di A e b le reti di B, ogni possibile sequenza di gol
equivale ad una permutazione dei simboli aaaabbb.
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COMBINAZIONI SEMPLICI
Nel Poker si distribuiscono, ad ogni giocatore, 5 carte estratte da un mazzo di 32.
In quanto modidiversi si possono ricevere le carte ?
Questo esercizio equivale a contare le possibili "mani" di poker.
Poiché l'ordine in cui si ricevono le carte non ha importanza, ogni "mano" corrisponde
ad una possibile combinazione di 5 carte estratte da un insieme di 32 Carte
C32,5 = D32,5 / P5 = (32*31*30*29*28 ) / 5! = 201.376
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Quanti sono i modi in cui si può ottenere una scala reale massima di cuori (A K Q J 10 di cuori): ovviamente uno solo!
Da qui si può capire che la probabilità di avere scala reale massima di cuori è 1/201.376 (vedi sopra).
Essendo 4 i semi, il numero di scale reali massime che si possono fare è 4.
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Quanti sono i modi in cui si può ottenere poker d'assi?
I 4 assi si possono ottenere in un solo modo, ma la quinta carta può essere una qualsiasi tra le restanti 28.
Per cui i modi sono 28.
La probabilità di fare poker d'assi è di 28/201.376=1/7129
Essendoci 8 valori per seme, i possibili poker sono 8, realizzabili in 28x8=224 modi.
La probabilità di fare poker è di 224/201.376 = 1/899
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COMBINAZIONI con RIPETIZIONE
I problemi di suddivisione in gruppi di oggetti indistinguibili si possono spesso ricondurre
al calcolo di combinazioni con ripetizione.
In quanti modi diversi posso distribuire 12 penne in 5 cassetti? ( ogni cassetto
può contenere da 0 a 12 penne e le 12 penne possono essere considerate indistinguibili).
Se chiamiamo A,B,C,D,E i 5 cassetti, ogni modo in cui posso distribuire le penne
può essere rappresentato da una sequenza di lettere prese una per ogni penna inserita
nel corrispondente cassetto:
es. aabbbcccdddd vuol dire che ho messo 2 penne in A, 3 in B, 3 in C, 4 in D e 0 in E.
Perciò il numero di modi cercato è il numero di combinazioni con ripetizione di 5 oggetti in classe 12, C
Riferimenti utili