Matematica: il calcolo Combinatorio

Spiegazione del calcolo combinatorio con esempi e calcolatori online.
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• 42: Matematica: Le regole per risolvere una espressione
• 44: Matematica: il calcolo combinatorio - le Disposizioni

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Il calcolo combinatorio serve a determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere associati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi.

Spesso si ha la necessità di calcolare in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno.
Il problema è banale con i piccoli numeri, ma quando questo numero è elevato si presentano delle difficoltà nel formare tutti i raggruppamenti possibili e senza considerare ripetizioni.

Il calcolo combinatorio è indispensabile nel Calcolo delle Probabilità poiché consente di determinare il numero di eventi possibili (ma anche quelli favorevoli e contrari) che si possono verificare in una prova.

Il Calcolo combinatorio fornisce gli strumenti di calcolo per determinare il numero di aggruppamenti che si possono formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti ( con n >= k ), i tre tipi di calcoli possibili sono:

• i k oggetti possono formare gruppi ordinati (disposizioni)
• i k oggetti possono formare gruppi non ordinati (combinazioni)
• se k = n otterremo dei gruppi ordinati (permutazioni)

Esempi vari

Alcuni esempi vari di utilizzo del calcolo combinatorio.

• Un sacchetto contiene 50 palline, 20 bianche e 30 rosse ; Calcolare la probabilita' che, estraendo contemporaneamente due palline, essa siano entrambe rosse
  Siccome le palline vengono estratte contemporaneamente non conta l'ordine e quindi useremo le combinazioni I casi possibili sono tutte le coppie che si possono formare con le 50 palline; C_50,2 I casi favorevoli sono tutte le coppie non ordinate che posso formare con le palline rosse P = C_30,2 / C_50,2 = 87 / 245 = = 0,3551020419 = ~35,51%
  
• DISPOSIZIONI
  Le targhe automobilistiche sono costituite da 2 lettere, 3 cifre, 2 lettere. Sapendo che le lettere possono venire scelte tra le 26 lettere dell'alfabeto anglosassone, si calcoli quante targhe differenti possono essere ottenute e quindi quante automobili possono essere immatricolate ?
  Con due lettere scelte tra 26, con possibile ripetizione e tenendo conto dell'ordine, posso ottenere: D^'_26,2 = 26² = ?676 disposizioni.
  Con tre cifre posso ottenere:
  D^'_10,3 = 10³ = 1000 numeri (i numeri da 001 a 999 + 000).
  Per cui il totale sarà 676 x 1000 x 676= 456.976.000
  
• PERMUTAZIONI (semplici e con ripetizione)
  Una partita di calcio tra la squadra A e B è finita 4 a 3. In quanti modi diversi possono essersi succedute le reti? P₇(4,3) = 7! / 4!3! =
  Infatti, indicando con a le reti di A e b le reti di B, ogni possibile sequenza di gol equivale ad una permutazione dei simboli aaaabbb.
  
• COMBINAZIONI SEMPLICI
  Nel Poker si distribuiscono, ad ogni giocatore, 5 carte estratte da un mazzo di 32. In quanto modidiversi si possono ricevere le carte ?
  Questo esercizio equivale a contare le possibili "mani" di poker. Poiché l'ordine in cui si ricevono le carte non ha importanza, ogni "mano" corrisponde ad una possibile combinazione di 5 carte estratte da un insieme di 32 Carte C_32,5 = D_32,5 / P₅ = (32*31*30*29*28 ) / 5! = 201.376
  
• Quanti sono i modi in cui si può ottenere una scala reale massima di cuori (A K Q J 10 di cuori): ovviamente uno solo!
  Da qui si può capire che la probabilità di avere scala reale massima di cuori è 1/201.376 (vedi sopra). Essendo 4 i semi, il numero di scale reali massime che si possono fare è 4.
  
• Quanti sono i modi in cui si può ottenere poker d'assi?
  I 4 assi si possono ottenere in un solo modo, ma la quinta carta può essere una qualsiasi tra le restanti 28. Per cui i modi sono 28.
  La probabilità di fare poker d'assi è di 28/201.376=1/7129
  Essendoci 8 valori per seme, i possibili poker sono 8, realizzabili in 28x8=224 modi.
  La probabilità di fare poker è di 224/201.376 = 1/899
  
• COMBINAZIONI con RIPETIZIONE
  I problemi di suddivisione in gruppi di oggetti indistinguibili si possono spesso ricondurre al calcolo di combinazioni con ripetizione.
  In quanti modi diversi posso distribuire 12 penne in 5 cassetti? ( ogni cassetto può contenere da 0 a 12 penne e le 12 penne possono essere considerate indistinguibili).
  Se chiamiamo A,B,C,D,E i 5 cassetti, ogni modo in cui posso distribuire le penne può essere rappresentato da una sequenza di lettere prese una per ogni penna inserita nel corrispondente cassetto:
  es. aabbbcccdddd vuol dire che ho messo 2 penne in A, 3 in B, 3 in C, 4 in D e 0 in E.
  Perciò il numero di modi cercato è il numero di combinazioni con ripetizione di 5 oggetti in classe 12, C
  

Riferimenti utili

• Cerca su google: Il calcolo combinatorio
• Cerca su google: Il calcolo delle combinazioni
• Cerca su google: Il calcolo delle permutazioni
• Cerca su google: Il calcolo delle disposizioni

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