Gli insiemi

Una scheda riassuntiva degli insiemi.
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• 205: Religione: Confronto delle principali religioni
• 0: Il riassunto

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Cosa è un Insieme

Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi, che hanno una proprietà in comune.
Le caratteristiche di un insieme sono:

• un elemento può appartenere o non appartenere ad un determinato insieme;
• un elemento non può comparire più di una volta in un insieme;
• l'ordine non ha alcuna importanza nell'elenco degli elementi;
• gli elementi di un insieme lo caratterizzano in modo univoco ossia due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto (A, B; C; ....) mentre gli elementi con quelle minuscole (a, b, c, ...).
Si usa il termine appartiene per indicare che un elemento a è elemento dell'insieme A con la seguente simbologia: a A (se non appartiene a A)

Cosa è un Sottoinsieme

Un insieme B è sottoinsieme di B se tutti i suoi elementi sono anche elementi di A.
Il sottoinsieme si dice proprio se non coincide con A (ossie esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B) altrimenti il sottoinsieme è detto improprio.
Si usa il termine incluso per indicare che un insieme B è sottoinsieme dell'insieme A con la seguente simbologia: B A (se è improprio B A, se non è incluso B A)

Cosa è un Universo

E' l' Ambiente in cui si formano insiemi.

La rappresentazione degli Insiemi

Per tabulazione

Elenco degli elementi che appartengono all'insieme.
Esempio: insieme dei numeri naturali minori di 8

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Per proprietà o criterio

Descrizione del criterio di formazione dell'insieme.
Esempio: insieme dei numeri naturali minori di 8 (criterio)

A = {x | x  N e x < 8}

Si legge: A è l'insieme di quegli elementi x tali che (|) ogni elemento x appartiene () ai numeri naturali (N) e ogni elemento x è minore di 8

Diagrammi di Eulero - Venn

Rappresentazione grafica di un insieme
Esempio: insieme dei numeri naturali minori di 8

Insiemi particolari e insiemi numerici

Insieme vuoto

Insieme senza elementi, si indica con

Insiemi numerici

Alcuni insiemi si indicano con determinate lettere:

• Numeri naturali, simbolo N
• numeri interi, simbolo Z
• numeri razionali, simbolo Q
• numeri reali, simbolo R

Operazioni tra insiemi

Unione

L'unione di due insiemi A e B è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A o a B.
Simbolo dell'operazione A B.
Esempio:

A = {0, 2, 4, 6, 8}
B = {0, 3, 6, 9, 12}
A B = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}

L'operazione è commutativa.

Intersezione

L'unione di due insiemi A e B è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A e a B.
Simbolo dell'operazione A B.
Esempio:

A = {0, 2, 4, 6, 8}
B = {0, 3, 6, 9, 12}
A B = {0, 6}

L'operazione è commutativa.

Complementare

Il complementare di un insieme A rispetto ad un universo U è costituito da tutti gli elementi dell'universo che non appartengono ad A, si indica con.
Esempio:

A = {x | x N e x > 8} = {x | x N e x < 9} 

cioè

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (Universo = Numeri naturali)

Il complementare di un sottoinsieme B di A è costituito da tutti gli elementi dell'insieme A che non appartengono ad B.

Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme che ha come elementi tutte le coppie ordinate (x,y) tali che x sia un elemento di A e y un elemento di B. Simbolo dell'operazione A B.
Esempio:

A = {1, 2, 3}
 
B = {a, b, c}
 
A B ={(1,a), (1, b), (1, c), (2,a), (2, b), (2, c), (3,a), (3, b), (3, c)}

L'operazione non è commutativa.

Partizione

Una partizione di un insieme A è una collezione di sottoinsiemi dell'insieme A che abbia queste proprietà:

• nessun sottoinsieme deve essere vuoto;
• i sottoinsiemi non devono avere elementi in comune (disgiunti);
• l'unione dei sottoinsiemi deve dare l'insieme A.

Esempio: i numeri pari e i numeri dispari sono una partizione dell'insieme N dei numeri naturali.

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